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《复变函数与积分变换》教学大纲0202010301
日期:2018-07-09 19:24:32  浏览量:294

《复变函数与积分变换》教学大纲

 

课程代码:0202010301    课程名称:复变函数与积分变换

    分:2               时:32

讲课学时:32            实验学时:0          上机学时:0    

适用对象:机械设计制造及其自动化     先修课程:

一、课程的性质与任务

复变函数是工科类的基础理论课。是研究复自变量复值函数的分析过程,积分变换是通过积分运算,把一个函数变成另一个更为简单且易于处理的函数。本课程要帮助学生理解和掌握复分析与积分变换理论的基础知识,提高学生在函数论方面的理论水平和综合应用能力。通过本课程的学习,使学生初步掌握复变函数与积分变换的基本理论和方法,为学习工程力学、电工学、电磁学、振动力学、电子技术等课程奠定必要的基础。

 

二、课程教学的基本要求

  1. 掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算;熟悉复平面、模与辐角的概念;熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式;了解区域的概念;理解复变数学的概念;理解复变函数的极限和连续的概念。
  2. 理解复变函数的导数及复变函数解析的概念;掌握复变函数解析的C-R条件,并能利用C-R条件判断复变函数的可导性和解析性;掌握解析函数的基本性质;了解指数函数、三角函数及对数函数的定义及它们的主要性质。
  3. 了解复变函数积分的定义及性质,会求复变函数的积分;理解柯西积分定理, 掌握柯西积分公式;掌握解析函数的高阶导数公式;了解解析函数无限次可导的性质;会综合利用各定理计算闭路积分。
  4. 了解复级数的一般概念;理解幂级数在收敛圆内的性质;掌握将函数在解析区域内展开为幂级数的方法,记住常见函数的幂级数展开法;掌握用间接展开法将函数在圆环域内展开为罗伦级数;理解函数的罗伦级数和罗伦展开定理。
  5. 理解孤立奇点的概念,会判断孤立奇点的类型;理解留数的概念;掌握不同奇点处留数的计算;掌握用留数定理,利用留数定理计算闭路积分。
  6. 掌握傅氏积分定理、理解傅氏积分公式;理解傅立叶变换及傅立叶逆变换的概念;了解函数的概念、性质及其傅氏变换,了解傅氏变换的物理意义;掌握傅氏变换的性质,熟悉常用傅氏变换对。
  7. 理解拉普拉斯变换及拉普拉斯逆变换的概念;了解拉普拉斯变换存在定理;掌握拉普拉斯变换的性质;掌握用留数求拉氏逆变换的方法;了解拉氏变换卷积概念及卷积定理;应用拉氏变换求解常微分方程及常微分方程组。

 

三、课程教学内容

第一章  复数和复变函数

1.教学重点:复数的多种表示方法,复数的运算以及用复数方程表示曲线,用不等式表示区域。

教学难点:用不等式表示区域。

2.教学内容:

§1.1  复数的概念与运算

一、复数的概念、表示法和运算

二、区域

§1.2  复变函数

一、复变函数的概念 

二、复变函数的极限和连续 

第二章  解析函数

1.教学重点:函数解析性的判断,掌握和运用柯西-黎曼条件,能从已知的调和函数中求其共轭函数。

教学难点:能从已知的调和函数中求其共轭函数。

2.教学内容:

§2.1  解析函数的概念

一、复变函数的导数和解析的概念 

二、复变函数解析的充要条件 

三、解析函数的基本性质

§2.2  初等函数的解析性

一、指数函数、三角函数、对数函数

第三章  复变函数的积分

1.教学重点:Cauchy积分定理,Cauchy积分公式及高阶导数公式的求法。

教学难点:复合闭路定理的运用。

2.教学内容:

§3.1  复变函数的积分

一、复变函数的积分的定义与性质

§3.2  柯西定理与柯西公式

一、柯西积分定理、柯西积分公式

二、解析函数的高阶导数公式

第四章  级数

1.教学重点:函数展开成Taylor级数,在不同环域内将函数展开成Laurent级数。

教学难点:在不同环域内将函数展开成Laurent级数。

2.教学内容:

§4.1  复级数的基本概念 

一、复级数的一般概念

二、幂级数在收敛圆内的性质

§4.2  泰勒级数和罗伦级数 

一、罗伦级数与罗伦展开定理

第五章  留数

1.教学重点:孤立奇点类型的判别,留数的计算及应用,留数定理计算复积分与定积分。

教学难点:孤立奇点类型的判别,留数的计算。

2.教学内容:

§5.1  孤立奇点及其分类

一、孤立奇点的概念和类型

§5.2  留数

一、留数的概念

二、不同奇点处留数的计算

三、留数定理

 

第六章  保角映射

1.教学重点:保角映射的概念以及映射的特性。

教学难点:映射的特性:分式线性映射具有保角、保圆、保对称性。

2.教学内容:

§6.1  保角映射的概念

§6.2  分式线性映射

§6.3  几个初等函数所构成的映射

第七章  傅立叶变换

1.教学重点:Fourier变换的性质与计算。

教学难点:涉及广义函数的Fourier变换。

2.教学内容:

§7.1  傅立叶积分公式

一、傅氏积分定理、傅氏积分公式 

§7.2  傅立叶变换

一、傅立叶变换和傅立叶逆变换

二、函数的概念、性质及其傅立叶变换

第八章  拉普拉斯变换

1.教学重点:Laplace变换的性质与计算,用Laplace变换求解微分方程。

教学难点:涉及广义函数的Laplace变换。

2.教学内容:

§8.1  拉普拉斯变换的概念

一、拉普拉斯变换的概念、拉普拉斯存在定理

§8.2  拉普拉斯变换的性质

§8.3  拉普拉斯逆变换

§8.4  卷积

§8.5  拉普拉斯变换的应用

四、课程教学时数分配

序号

教学内容

学时

学时分配

讲课

实验

其他

1

复数和复变函数

4

4

 

 

2

解析函数

4

4

 

 

3

复变函数的积分

6

6

 

 

4

级数

4

4

 

 

5

留数

6

6

 

 

6

保角映射

6

6

 

 

7

傅立叶变换

6

6

 

 

8

拉普拉斯变换

6

6

 

 

9

复习与放假

6

 

 

6

小   计

48

42

 

6

 

 

五、教学组织与方法

以课堂讲授为主要形式的课堂教学。

 

六、课程考核与成绩评定

1、考核方法:

本课程为必修考试课。开课一学期,学期期末闭卷考试一次,100分制,考试时间100分钟。考试题型包括选择题(20%),填空题(20%),计算题(48%),综合应用题(12%)

2、成绩评定方法:

总成绩 = 期末考试成绩(70+ 平时成绩(30)。其中,平时成绩由平时作业、出勤和课堂表现组成。

及格分数线:60分。

七、推荐教材和教学参考书目与文献

1、推荐教材:《复变函数与积分变换》(第3版),杨巧林主编,机械工业出版社

2、参考书目与文献:

1)《复变函数与积分变换》,苏变萍、陈东立编,高等教育出版社。

2)《复变函数与积分变换》(第二版),华中科技大学数学系编,高等教育出版社。

3)《复变函数》,西安交大编,高等教育出版社。

4)《积分变换》,南京工学院编,高等教育出版社。

5)《复变函数与积分变换》,包革军等(哈工大)编,科学出版社。

6)《复变函数论》(第三版),钟玉泉编,高等教育出版社。

 

 

 

 

大纲制订人:涂青

大纲审定人:陈嘉兴

教学院长(主任):黄赣生

制订日期:201712月11

 

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