《复变函数与积分变换》教学大纲

 

课程代码：0202010301    课程名称：复变函数与积分变换

学    分：2             总 学 时：32

讲课学时：32            实验学时：0          上机学时：0    

适用对象：机械设计制造及其自动化     先修课程：无

一、课程的性质与任务

复变函数是工科类的基础理论课。是研究复自变量复值函数的分析过程，积分变换是通过积分运算，把一个函数变成另一个更为简单且易于处理的函数。本课程要帮助学生理解和掌握复分析与积分变换理论的基础知识，提高学生在函数论方面的理论水平和综合应用能力。通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数与积分变换的基本理论和方法，为学习工程力学、电工学、电磁学、振动力学、电子技术等课程奠定必要的基础。

 

二、课程教学的基本要求

1. 掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算；熟悉复平面、模与辐角的概念；熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式；了解区域的概念；理解复变数学的概念；理解复变函数的极限和连续的概念。
2. 理解复变函数的导数及复变函数解析的概念；掌握复变函数解析的C-R条件，并能利用C-R条件判断复变函数的可导性和解析性；掌握解析函数的基本性质；了解指数函数、三角函数及对数函数的定义及它们的主要性质。
3. 了解复变函数积分的定义及性质，会求复变函数的积分；理解柯西积分定理， 掌握柯西积分公式；掌握解析函数的高阶导数公式；了解解析函数无限次可导的性质；会综合利用各定理计算闭路积分。
4. 了解复级数的一般概念；理解幂级数在收敛圆内的性质；掌握将函数在解析区域内展开为幂级数的方法，记住常见函数的幂级数展开法；掌握用间接展开法将函数在圆环域内展开为罗伦级数；理解函数的罗伦级数和罗伦展开定理。
5. 理解孤立奇点的概念，会判断孤立奇点的类型；理解留数的概念；掌握不同奇点处留数的计算；掌握用留数定理，利用留数定理计算闭路积分。
6. 掌握傅氏积分定理、理解傅氏积分公式；理解傅立叶变换及傅立叶逆变换的概念；了解函数的概念、性质及其傅氏变换，了解傅氏变换的物理意义；掌握傅氏变换的性质，熟悉常用傅氏变换对。
7. 理解拉普拉斯变换及拉普拉斯逆变换的概念；了解拉普拉斯变换存在定理；掌握拉普拉斯变换的性质；掌握用留数求拉氏逆变换的方法；了解拉氏变换卷积概念及卷积定理；应用拉氏变换求解常微分方程及常微分方程组。

 

三、课程教学内容

第一章  复数和复变函数

1．教学重点：复数的多种表示方法，复数的运算以及用复数方程表示曲线，用不等式表示区域。

教学难点：用不等式表示区域。

2．教学内容：

§1.1  复数的概念与运算

一、复数的概念、表示法和运算

二、区域

§1.2  复变函数

一、复变函数的概念 

二、复变函数的极限和连续 

第二章  解析函数

1．教学重点：函数解析性的判断，掌握和运用柯西-黎曼条件，能从已知的调和函数中求其共轭函数。

教学难点：能从已知的调和函数中求其共轭函数。

2．教学内容：

§2.1  解析函数的概念

一、复变函数的导数和解析的概念 

二、复变函数解析的充要条件 

三、解析函数的基本性质

§2.2  初等函数的解析性

一、指数函数、三角函数、对数函数

第三章  复变函数的积分

1．教学重点：Cauchy积分定理，Cauchy积分公式及高阶导数公式的求法。

教学难点：复合闭路定理的运用。

2．教学内容：

§3.1  复变函数的积分

一、复变函数的积分的定义与性质

§3.2  柯西定理与柯西公式

一、柯西积分定理、柯西积分公式

二、解析函数的高阶导数公式

第四章  级数

1．教学重点：函数展开成Taylor级数，在不同环域内将函数展开成Laurent级数。

教学难点：在不同环域内将函数展开成Laurent级数。

2．教学内容：

§4.1  复级数的基本概念 

一、复级数的一般概念

二、幂级数在收敛圆内的性质

§4.2  泰勒级数和罗伦级数 

一、罗伦级数与罗伦展开定理

第五章  留数

1．教学重点：孤立奇点类型的判别，留数的计算及应用，留数定理计算复积分与定积分。

教学难点：孤立奇点类型的判别，留数的计算。

2．教学内容：

§5.1  孤立奇点及其分类

一、孤立奇点的概念和类型

§5.2  留数

一、留数的概念

二、不同奇点处留数的计算

三、留数定理

 

第六章  保角映射

1．教学重点：保角映射的概念以及映射的特性。

教学难点：映射的特性：分式线性映射具有保角、保圆、保对称性。

2．教学内容：

§6.1  保角映射的概念

§6.2  分式线性映射

§6.3  几个初等函数所构成的映射

第七章  傅立叶变换

1．教学重点：Fourier变换的性质与计算。

教学难点：涉及广义函数的Fourier变换。

2．教学内容：

§7.1  傅立叶积分公式

一、傅氏积分定理、傅氏积分公式 

§7.2  傅立叶变换

一、傅立叶变换和傅立叶逆变换

二、函数的概念、性质及其傅立叶变换

第八章  拉普拉斯变换

1．教学重点：Laplace变换的性质与计算,用Laplace变换求解微分方程。

教学难点：涉及广义函数的Laplace变换。

2．教学内容：

§8.1  拉普拉斯变换的概念

一、拉普拉斯变换的概念、拉普拉斯存在定理

§8.2  拉普拉斯变换的性质

§8.3  拉普拉斯逆变换

§8.4  卷积

§8.5  拉普拉斯变换的应用

四、课程教学时数分配

序号	教学内容	学时	学时分配
			讲课	实验	其他
1	复数和复变函数	4	4
2	解析函数	4	4
3	复变函数的积分	6	6
4	级数	4	4
5	留数	6	6
6	保角映射	6	6
7	傅立叶变换	6	6
8	拉普拉斯变换	6	6
9	复习与放假	6			6
小   计		48	42		6

 

五、教学组织与方法

以课堂讲授为主要形式的课堂教学。

 

六、课程考核与成绩评定

1、考核方法：

本课程为必修考试课。开课一学期，学期期末闭卷考试一次，100分制，考试时间100分钟。考试题型包括选择题（20%），填空题（20%），计算题（48%），综合应用题（12%）

2、成绩评定方法：

总成绩 = 期末考试成绩（70％）+ 平时成绩（30％）。其中，平时成绩由平时作业、出勤和课堂表现组成。

及格分数线：60分。

七、推荐教材和教学参考书目与文献

1、推荐教材：《复变函数与积分变换》(第3版)，杨巧林主编，机械工业出版社

2、参考书目与文献：

（1）《复变函数与积分变换》，苏变萍、陈东立编，高等教育出版社。

（2）《复变函数与积分变换》(第二版)，华中科技大学数学系编，高等教育出版社。

（3）《复变函数》，西安交大编，高等教育出版社。

（4）《积分变换》，南京工学院编，高等教育出版社。

（5）《复变函数与积分变换》，包革军等(哈工大)编，科学出版社。

（6）《复变函数论》（第三版），钟玉泉编，高等教育出版社。

 

 

 

 

大纲制订人：涂青

大纲审定人：陈嘉兴

教学院长（主任）：黄赣生

制订日期：2017年12月11日