《线性代数概率论与数理统计》教学大纲
课程代码：1202020212 课程名称：线性代数概率论与数理统计
学 分：4 总 学 时：64
讲课学时：64 实验学时：0 上机学时：0
适用对象：新能源、环境本科专业 先修课程：高等数学
一、课程的性质与任务
《线性代数概率论与数理统计》是高等学校的重要基础课。由线性代数、概率论与数理统计两部分组成。由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，某些非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题，尤其是在计算机日益普及的今天，解大型线性方程组、求矩阵的特征值与特征向量等已成为科学技术人员经常遇到的课题，因此学习和掌握线性代数的理论和方法是掌握现代科学技术以及从事科学研究的重要基础和手段，同时也是实现专业培养目标的必备前提。本课程的主要任务是学习科学技术中常用的矩阵方法、掌握线性方程组及其有关的基本计算方法，了解概率论与数理统计的基本概念，培养学生运用概率统计方法分析和解决、处理实际不确定问题的基本技能和基本素质。使学生具有熟练的矩阵运算能力及用矩阵方法解决一些实际问题的能力。从而为学生进一步学习后续课程和进一步提高打下必要的数学基础。
二、课程教学的基本要求
三、课程教学内容
第一部分 线性代数 （前32学时）
第一章 行列式
1．教学重点：行列式的性质与展开，克莱姆法则。
教学难点：行列式展开。
2．教学内容：
§1.1 二阶、三阶行列式
二阶、三阶行列式的定义与计算。
§1.2 排列、逆序与对换
逆序，逆序数。
§1.3 n阶行列式
n阶行列式的定义，特殊行列式。
§1.4 行列式的性质
行列式基本性质，化三角行列式。
§1.5 行列式按行（列）展开
行列式展开公式，降阶展开法。
§1.6 克莱姆法则
克莱姆法则，线性方程组解和系数行列式的关系。
第二章 矩阵
1．教学重点：矩阵的有关概念、运算，逆矩阵的求法，矩阵的秩。
教学难点：矩阵的乘法、逆矩阵。
2．教学内容：
§2.1 矩阵的概念及特殊矩阵
矩阵的定义，零矩阵，方阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵，三角矩阵，对称矩阵。
§2.2 矩阵的运算
矩阵的加法、数乘，矩阵乘矩阵，矩阵转置，方阵的幂，方阵行列式的定义与性质。
§2.3 逆矩阵
逆矩阵的概念，矩阵可逆的充分必要条件，伴随矩阵，正交矩阵。
§2.4 分块矩阵
分块矩阵的定义，分块矩阵的加法、数乘，分块矩乘分块矩，分块对角矩阵。
§2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵
矩阵的初等变换和初等矩阵，矩阵的等价，初等变换求逆矩阵。
§2.6 矩阵的秩
矩阵的秩的定义，计算和性质，初等变换求矩阵的秩。
第三章 向量组与向量空间
1．教学重点：向量间的线性关系，向量空间。
教学难点：向量空间。
2．教学内容：
§3.1 向量组及其线性组合
向量组的概念，向量组的线性组合。
§3.2 向量组的线性相关性
向量组的线性相关与线性无关，最大线性无关组的概念，向量组等价的概念。
§3.3 向量组的秩
向量组的秩的概念，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系。
§3.4 向量空间
向量空间的概念，基和维数的概念，基变换和坐标变换。
第四章 线性方程组
1．教学重点：线性方程组的消元解法。
教学难点：，线性方程组解的结构。
2．教学内容：
§4.1 线性方程组的概念
线性方程组的基本概念。
§4.2 线性方程组解的求法
线性方程组的同解变换，消元解法。
§4.3 线性方程组解的结构
齐次线性方程组解的结构，非齐次线性方程组解的结构。
第五章 相似矩阵和二次型
1．教学重点：矩阵的特征值与特征向量、对称矩阵化为对角矩阵。
教学难点：矩阵可对角化的相关结论。
2．教学内容：
§5.1 向量的内积与正交
向量内积的概念，线性无关向量组的正交化方法，正交矩阵。
§5.2 方阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量的概念与性质。
§5.3 相似矩阵
相似矩阵的概念，方阵与对角阵相似的条件。
§5.4 对称矩阵的对角化
对角化条件，矩阵对角化的步骤，矩阵对角化的应用，。
§5.5 二次型及其标准形
二次型定义及矩阵表示，二次型的秩的概念。
§5.6 用配方法化二次型为标准形
配方法化二次型为标准形举例。
§5.7 正定二次型
正定二次型的概念与判定。
第二部分 概率论与数理统计 （后32学时）
第一章，随机事件和概率
1．教学内容
随机事件与样本空间的关系，事件的运算及性质，事件的独立性，完全事件组概率的定义，概率的基本性质，古典概率，条件概率，加法公式，乘法公式，全概率公式和贝叶斯公式，独立重复试验。
2．教学重点和难点
重点：事件的独立性，条件概率。
难点：计算有关事件概率的方法
3．教学要求
（1）.了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件间的关系及运算。
（2）.理解概率，条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率，掌握概率的加法，乘法公式以及全概率公式，贝叶斯公式
（3）.理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算，理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法。
第二章．随机变量及其分布
1．教学内容
一维随机变量及其概率分布，一维随机变量的分布函数的概念及其性质，一维离散型随机变量的概率分布，一维连续型随机变量的概率密度，常见随机变量的概率分布.
2.教学重点与难点
重点：一维随机变量及其概率分布，连续型随机变量及其概率密度
难点：正态分布及其它们的应用
3．教学要求
(⒈)理解一维随机变量及其概率分布的概念.
(2).理解随机变量分布函数的概念,了解分布函数的性质,会计算与随机变量有关的事件的概率.
(3).理解离散型随机变量及概率分布的概念.掌握0-1分布、二项分布、泊松分布及其它们的应用。
(4).理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、指数分布、正态分布及其它们的应用。
(5).会求简单的随机变量的函数的分布。
第三章．多维随机变量及其分布
1．教学内容
二维随机变量及其联合分布，二维离散型随机变量的联合概率分布和边缘分布，二维连续型随机变量的联合概率密度和边缘密度，随机变量的独立性，常见二维随机变量的联合分布，随机变量函数的概率分布，两个连续型随机变量之和的概率分布。
2．教学重点与难点
重点：二维离散型随机变量的联合概率分布和边缘分上，二维连续型随机变量的联合概率密度和边缘密度，随机变量的独立性。
难点：两个连续型随机变量之和的概率分布。
3．教学要求
（1）．了解二维（多维）随机变量的概念。
（2）．了解二维随机变的联合分布函数及其性质；了解二维离散型随机变的联合概率分布及其性质；了解二维连续型随机变量的联合概率密度函数及其性质，并会用这些性质计算有关事件的概率。
（3）．掌握二维离散型与二维连续型随机变量的边缘分布的计算，了解条件分布及其计算。
（4）．理解随机变量独立性的概念，掌握运用随机变量独立性进行概率计算 。
（5）．会求两个独立随机变量的简单函数的分布。
（6）．了解二维均匀分布与二维正态分布。
第四章．随机变量的数字特征
1．教学内容
随机变量的数学期望，条件期望，方差，标准差以及它们的基本性质，随机变量函数的数学期望，两个随机变量的协方差及其性质，两个随机变量的相关系数及其性质。
2．教学重点与难点
重点：求数学期望和方差。
难点：求协方差和相关系数。
3．教学要求
（1）．理解数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数的概念。
（2）．会运用它们的基本性质计算具体分布的数字特征，要掌握二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布与指数分布等一些常用的随机变量数字特征。
（3）．会根据一维随机变量的分布求其函数的数学期望，会根据二维随机变量的联合分布求其函数的数学期望。
第五章．大数定律和中心极限定理
1．教学内容
切比雪夫不等式及其切比雪夫大数定律，贝努利大数定律，幸钦大数定律，德莫夫—拉普拉斯中心极限定理，独立同分布的的中心极限定理。
2．教学重点与难点
重点：比雪夫大数定律，贝努利大数定律。
难点：德莫夫—拉普拉斯中心极限定理的应用。
3．教学要求
（1）．了解契比雪夫不等式的条件和结论。
（2）．了解常用的大数定理（契比雪夫定理及贝努利大数定理）成立的条件与结论。
（3）．了解中心极限定理、德莫夫—拉普拉斯定理和小概率事件问题并会利用相关定理近似计算有关随机事件的概率。
第六章．数理统计的基本概念
1．教学内容
总体与个体，简单随机样本，统计量，经验分布函数，样本均值，样本方差，几个常用的统计量分布。
2．教学重点与难点
无
3．教学要求
（1）．理解总体、个体、和统计量的概念。
（2）．了解直方图的作法。
（3）．掌握样本均值、样本方差及样本矩的计算，了解经验分布函数的概念。
（4）．了解—分布、—分布、—分布定义及性质，了解分位数的概念并会查表计算。
（5）．了解正态总体的某些常用统计量的分布。
第七章．参数估计
1．教学内容
点估计的概念，估计量与估计值的概念，矩估计法，极大似然估计法，点估计量的评选标准，区间估计的概念，单个正态总体均值的区间估计，单个正态总体方差的区间估计，两个正态总体均值差和方差比值的区间估计。
2．教学重点与难点
重点：矩估计法，单个正态总体均值的区间估计。
难点：极大似然估计法，两个正态总体均值差和方差比值的区间估计。
3．教学要求
（1）．理解参数的点估计的概念。
（2）．掌握用矩估计法（一阶、二阶）和极大似然估计法计算参数的估计量。
（3）．了解估计量的评选标准包括无偏性、有效性和相和性概念，并会年验证估计量的无偏性。
（4）．理解区间估计的概念。
（5）．掌握单个正态总体的均值及方差的置信区间的求法。
（6）．了解两个正态总体的均值及方差的置信区间的求法。
第八章．假设检验
1．教学内容
假设检验的基本思想，基本步骤和可能产生的两类错误，单个和两个正态总体的均值差和方差的假设检验。
2．教学重点与难点
样本统计量的选取。
3．教学要求
（1）．理解假设检验的基本思想，掌握假设检验的步骤，了解假设检验可能产生的两类错误。
（2）．掌握单个和两个正态总体的均值与方差的假设检验。
（3）．了解总体分布假设的—检验法、—检验法。
第九章．回归分析
1．教学内容
一元线性回归方程的概念，回归直线方程的建立，相关性检验，可线性化的回归方程，幂函数型，s曲线型，对数曲线型。
2．教学重点与难点
建立回归直线方程的方法。
3．教学要求
（1）．了解单因素的方差分析，知道双因素的方差分析。
（2）．理解回归分析的基本概念，掌握一元线性回归方程、线性相关，显著性的检验法。
（3）．了解一些可线性化的非线性回归问题及简单的多元线性回归，会利 用线性回归方程进行预算。
四、课程教学时数分配
|
序号 |
教学内容 |
学时 |
学时分配 |
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|
讲课 |
实验 |
其他 |
|||
|
1 |
行列式 |
6 |
6 |
|
|
|
2 |
矩阵 |
8 |
8 |
|
|
|
3 |
向量组与向量空间 |
6 |
6 |
|
|
|
4 |
线性方程组 |
4 |
4 |
|
|
|
5 |
相似矩阵和二次型 |
6 |
6 |
|
|
|
6 |
线性空间与线性变换 |
0 |
0 |
|
|
|
7 |
随机事件及概率 |
6 |
6 |
|
|
|
8 |
随机变量及其分布 |
6 |
6 |
|
|
|
9 |
多维随机变量及其分布 |
6 |
6 |
|
|
|
10 |
随机变量的数字特征 |
4 |
4 |
|
|
|
11 |
大数定律与中心极限定理 |
2 |
2 |
|
|
|
12 |
参数估计 |
2 |
2 |
|
|
|
13 |
假设检验 |
4 |
4 |
|
|
|
14 |
复习 |
4 |
|
|
4 |
|
小 计 |
64 |
60 |
|
4 |
|
五、教学组织与方法
以课堂讲授为主要形式的课堂教学。
六、课程考核与成绩评定
1、考核方法：
本课程为必修考试课。开课一学期，学期期末闭卷考试一次，100分制，考试时间100分钟。考试题型包括选择题（30%），填空题（10%），计算题（42%），证明和应用题（18%）
2、成绩评定方法：
总成绩 = 期末考试成绩（70％）+ 平时成绩（30％）。其中，平时成绩由平时作业、出勤和课堂表现组成。
及格分数线：60分。
七、推荐教材和教学参考书目与文献
1、推荐教材：《线性代数》，詹小旦主编，江苏大学出版社出版
《概率论与数理统计》，陈江彬主编，上海交通大学出版社
2、参考书目与文献：
（1）工程数学《线性代数》（第三版），同济大学数学教研室编，高等教育出版社出版
（2）《概率论与数理统计》，郝志峰 谢国瑞主编，高等教育出版社
大纲制订人：涂青
大纲审定人：陈嘉兴
教学院长（主任）：黄赣生
制订日期：2017年12月11日