《线性代数与概率论》教学大纲

 

课程代码：1702000204    课程名称：线性代数与概率论

学    分：4             总 学 时：64

讲课学时：64            实验学时：0          上机学时：0   

适用对象：文史财经类本科     先修课程：微积分

一、课程的性质与任务

《线性代数与概率论》包括线性代数和概率论与数理统计两个部分，是我院文科、财经类与管理类专业的学生必修的重要的基础课程。

通过本课程教学，使学生掌握线性代数的基本理论和方法，掌握线性代数在解决问题中的基本方法和应用技巧；掌握概率论与数理统计的基本概念和基本理论，初步学会处理随机现象的基本思想和方法；培养和提高学生的抽象思维能力和严格的逻辑推理能力，培养学生正确运用数学知识来解决实际问题的能力，并为进一步学习后续课程及相关课程打好基础。

 

二、课程教学的基本要求

1. 理解行列式概念，掌握行列式的性质，会用行列式的性质、行列式的展开定理计算行列式，会用克莱姆法则解线性方程组。
2. 理解矩阵的有关概念，掌握矩阵的运算。理解逆矩阵的概念与性质，会求逆矩阵。了解矩阵的初等变换，会对矩阵进行初等变换。了解矩阵的秩的意义，会求矩阵的秩。
3. 了解线性方程组的消元解法，掌握线性方程有解的有关判定定理。理解n维向量概念，掌握向量的运算法则。理解向量组的线性相关，线性无关的概念，掌握向量线性相关、线性无关的有关性质和判别法。理解齐次线性方程组基础解系、通解的概念，掌握齐次线性方程组基础解系的求法。理解非齐次线性方程组解的结构、通解概念，掌握非齐次线性方程组通解的求法。
4. 理解矩阵的特征值和特征向量的概念，会计算矩阵的特征值和特征向量。掌握特征值和特征向量的性质。
5. 了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件间的关系及运算。理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计学古典型概率;掌握概率的加法、乘法公式以及全概率公式、贝叶斯公式。理解事件的独立性概念，掌握用事件独立性进行概率计算;理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法。
6. 理解随机变量及其概率分布的概念，理解分布函数F（x）= P{X x}的概念及性质，会计算与随机变量有关的事件的概率。理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布。理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握概率密度与分布函数之间的关系，掌握均匀分布。了解随机变量函数的概念，会求其概率分布。
7. 理解随机变量数字特征（期望、方差、标准差、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征，掌握常用分布的数字特征。会根据随机变量X的概率分布求其函数的数字特征。
8. 熟练掌握二项分布与正态分布的分布律，掌握一般正态分布与标准正态分布的关系，会求二项分布与正态分布的数学期望与方差。理解超几何分布、普哇松分布、Γ—分布、指数分布。了解二项分布的最可能值，了解标准正态分布函数表以及正态分布与Γ—分布的关系。

 

三、课程教学内容

线性代数部分

第一章  行列式

1．教学重点：行列式的性质与展开，克莱姆法则。

教学难点：行列式展开。

2．教学内容：

第一节 二阶、三阶行列式

二阶、三阶行列式的定义与计算。

第二节 n阶行列式

    n阶行列式的定义，特殊行列式。

第三节 行列式的性质

    行列式基本性质，化三角行列式。

第四节 行列式按行（列）展开

    逆序数，行列式展开公式，降阶展开法。

第五节 克莱姆法则

    克莱姆法则，线性方程组解和系数行列式的关系。

第二章  矩阵

1．教学重点：矩阵的有关概念、运算，逆矩阵的求法，矩阵的秩。

教学难点：矩阵的乘法、逆矩阵。

2．教学内容：

第一节 矩阵的概念

    矩阵的定义，零矩阵，方阵。

第二节 矩阵的运算

    矩阵的加法、数乘，矩阵乘矩阵，矩阵转置，方阵的幂，方阵行列式的定义与性质。

第三节 几种特殊的矩阵

    对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵，三角矩阵，对称矩阵。

第四节 分块矩阵

    分块矩阵的定义，分块矩阵的加法、数乘，分块矩乘分块矩。

第五节 逆矩阵

    逆矩阵的概念，矩阵可逆的充分必要条件，伴随矩阵。

第六节 矩阵的初等变换

矩阵的初等变换和初等矩阵，矩阵的等价，初等变换求逆矩阵。

第七节 矩阵的秩

矩阵的秩的定义，初等变换求矩阵的秩。

第三章  线性方程组

1．教学重点：线性方程组的消元解法。

教学难点：向量间的线性关系，线性方程组解的结构。

2．教学内容：

第一节 线性方程组的消元解法

线性方程组的消元解法，增广矩阵，阶梯形矩阵，简化阶梯形矩阵，线性方程组解和秩的关系。

第二节 向量与向量组的线性组合

    向量的概念，向量的线性运算，向量组的线性组合。

第三节 向量组的线性相关性

    向量组的线性相关与线性无关，极大线性无关组的概念，向量组等价的概念。

第四节 向量组的秩

极大无关组，向量组的秩的概念，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系。

第五节 线性方程组解的结构

线性方程组解的性质和解的结构，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件，非齐次线性方程组有解的充分必要条件，齐次线性方程组的基础解系、通解和解空间的概念，非齐次线性方程组的通解，用行初等变换求解线性方程组的方法。

第四章 矩阵的特征值

1．教学重点：求解矩阵的特征值、特征向量。

教学难点：特征值、特征向量的相关性质。

2．教学内容：

第一节 矩阵的特征值与特征向量

 矩阵的特征值与特征向量的概念与性质。

概率论与数理统计部分

第一章  随机事件及其概率

1．教学重点：事件的概率计算公式。

教学难点：实际问题的概率计算。

2．教学内容：

第一节 随机事件

    随机事件的概念，随机事件的关系与运算。

第二节 概率

    概率的公理化定义，古典概率公式及计算。

第三节 概率的加法法则

    加法公式。

第四节 条件概率与乘法法则

    条件概率公式，乘法公式，全概和贝叶斯公式。

第五节 独立试验的概率

    事件的独立性判断公式，伯努利实验和公式。

第二章  随机变量及其分布

1．教学重点：连续型随机变量及其概率密度的概念，概率密度与分布函数之间关系。

教学难点：分布函数的感念，随机变量函数的概率分布。

2．教学内容：

第一节 随机变量的概念

    离散型和连续型随机变量的概念。

第二节 随机变量的分布

    概率函数，分布函数，概率密度函数。

第四节 随机变量函数的分布

    联合概率分布、密度，边缘概率分布、密度，条件概率分布、密度。

第三章  随机变量的数字特征

1．教学重点：求数学期望和方差。

教学难点：数学期望和方差的计算及相关应用。

2．教学内容：

第一节 数学期望

    数学期望的定义，离散型和连续型随机变量的期望计算。

第二节 数学期望的性质

    数学期望的性质。

第三节 条件期望

    离散型和连续型随机变量的条件期望。

第四节 方差、协方差

    方差和协方差的概念与公式，方差的性质，相关系数的概念与公式。

第四章  几种重要的分布

1．教学重点：二项分布与正态分布。

教学难点：二项分布与正态分布。

2．教学内容：

第一节 二项分布

    两点分布，0-1分布，二项分布公式及其计算，二项分布的期望方差公式。

第二节 超几何分布

    超几何分布公式及其计算，超几何分布的期望方差公式。

第三节 普哇松分布

    普哇松分布的公式及其计算，普哇松分布的期望方差公式，普哇松分布表。

第四节 指数分布

指数分布的公式及其计算，指数分布的期望方差公式。

第五节 分布

    分布的公式， 分布的近似计算。

第六节 正态分布

    正态分布的概率密度，标准正态分布的概率密度和概率分布，一般化标态的公式和定理，标准正态分布的分布函数表和概率密度表。

第五章 大数定律与中心极限定理

1．教学重点：切贝谢夫定理，贝努里大数定律。

教学难点：李雅普诺夫定理，拉普拉斯中心极限定理。

2．教学内容：

第一节 大数定律的概念

    大数定律的基本概念。

第二节 切贝谢夫不等式

    切贝谢夫不等式。

第三节 切贝谢夫定理

    切贝谢夫定理，贝努里大数定律，幸钦大数定律。

第四节 中心极限定理

李雅普诺夫定理，拉普拉斯中心极限定理。

 

四、课程教学时数分配

序号	教学内容	学时	学时分配
			讲课	实验	其他
1	行列式	6	6
2	矩阵	10	10
3	线性方程组	10	10
4	矩阵的特征值	4	4
5	随机事件及其概率	6	6
6	随机变量及其分布	6	6
7	随机变量的数字特征	6	6
8	几种重要分布	8	8
9	大数定律与中心极限定理	4	4
10	复习和休假	4			4
小   计		64	60		4

 

五、教学组织与方法

以课堂讲授为主要形式的课堂教学。

 

六、课程考核与成绩评定

1、考核方法：

本课程为必修考试课。开课一学期，学期期末闭卷考试一次，100分制，考试时间100分钟。考试题型包括选择题（30%），填空题（10%），计算题（42%），综合应用题（18%）

2、成绩评定方法：

总成绩 = 期末考试成绩（70％）+ 平时成绩（30％）。其中，平时成绩由平时作业、出勤和课堂表现组成。

及格分数线：60分。

七、推荐教材和教学参考书目与文献

1、推荐教材：《线性代数》（第四版），赵树塬主编，中的国人民大学出版

            《概率论与数理统计》，袁荫棠主编，中的国人民大学出版

2、参考书目与文献：

（1）线性代数》，同济大学数学教研室编，第四版 同济大学出版社，1999

（2）《线性代数简明教程》，陈龙玄等主编，北京：中国科学技术出版社，2000

（3）《线性代数》，居余马等主编，北京：清华大学出版社，2002

（4）《线性代数及应用》，谢国瑞主编，北京：高等教育出版社，1999

（5）《概率论与数理统计》(第三版)，盛骤、谢式千，潘承毅编，高等教育出版社

（6）《概率论与数理统计》（理工类）简明版，吴赣昌主编，中国人民大学出版社

 

 

 

 

大纲制订人：涂青

大纲审定人：陈嘉兴

教学院长（主任）：黄赣生

制订日期：2017年12月11日