《微积分》教学大纲

 

课程代码：1702000203     课程名称：微积分

学    分：4              总 学 时：64

讲课学时：64             实验学时：0          上机学时：0   

适用对象：文史财经类本科      先修课程：无

 

一、课程的性质与任务

《微积分》是我院文科、财经类与管理类专业的学生必修的重要的基础课程，也是为培养四化建设，社会主义市场经济应用型人才的必修课程。

通过本课程的学习，了解数学的基础知识和专业背景知识，为文科、财经类各专业的学生学习后继专业课程以及今后工作需要打下必备的数学基础。

 

二、课程教学的基本要求

1. 理解常量、变量、函数概念。熟练掌握函数的定义域的分析与求解。理解反函数，复合函数，初等函数，分段函数的概念。熟练掌握将复合函数分解成简单函数的方法。掌握初等函数特征，简单的几何性质，培养建立简单的经济函数的能力。养成图文并重的思维方法。
2. 理解极限的概念，掌握极限的各种定义与表示方法，掌握左右极限与极限的关系。掌握极限的四则运算法则，系统掌握基本未定式的极限计算。掌握两个重要极限公式。熟练应用公式求极限。了解无穷大量，无穷小量的概念及其极限表示方法。掌握等价无穷小公式，熟练应用公式求解极限。理解函数连续的概念，了解初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。理解函数间断点的概念，会判断间断点的类型。
3. 深刻理解导数的概念及几何意义。了解可导与连续的关系。牢记求导公式与法则，熟练求解各种初等函数的导数。了解函数微分的定义及其在近似计算的简单应用。
4. 了解微分的三个中值定理的条件和结论，掌握拉格朗日中值定理。掌握洛必达法则求未定式极限方法。理解函数的增减性，函数极值的概念，掌握其导数判别方法。了解函数曲线的凹向及拐点的概念，知道其导数判别法。求一些应用题的最大值、最小值。了解边际函数，函数的弹性，能应用分析简单经济问题。
5. 了解原函数和不定积分的定义。理解不定积分的性质，牢固掌握不定积分的基本公式。牢固掌握不定积分三大计算方法：凑微分法，第一换元法，分部积分法，能熟练求解常见初等函数的不定积分。
6. 了解定积分的概念。了解定积分的基本性质。了解变上限积分函数的定义，知道变上限积分的导数计算方法。牢固掌握牛顿---莱布尼兹定积分的计算公式。掌握定积分的基本初等函数计算公式。掌握定积分的换元积分法、分部积分法，能熟练地求一些函数的定积分。会应用定积分计算平面图形的面积，空间旋转体的体积，解决某些简单的经济应用题。了解广义积分和 函数，会求简单的广义积分。
7. 理解偏导数的概念，了解高阶偏导数，理解偏弹性。理解全微分的概念，会求多元函数的全微分。掌握复合函数的微分法和隐函数的微分法。

 

三、课程教学内容

第一章  函数

1．教学重点：复合函数，初等函数。

教学难点：建立实际经济函数，复合函数的分解。

2．教学内容：

§1.1 集合

集合，元素，集合的关系与运算。

§1.2 实数集

实数集，绝对值，区间，领域。

§1.3 函数关系

函数概念及表示法，函数关系的建立，定义域的求法，多值函数，隐函数。

§1.4 分段函数

分段函数的概念及其图形特征。

§1.5 建立函数关系的例题

  经济函数----总成本函数、总收入函数、总利润函数、需求函数、供给函数等。

§1.6 函数的几种简单性质

函数的四种几何性质。

§1.7反函数与复合函数

反函数的定义及其图形，复合函数。

§1.8初等函数

基本初等函数的定义、定义域、值域及其图形；初等函数的定义。

第二章  极限与连续

1．教学重点：极限概念，极限的运算法则，极限的求解方法，函数的连续性。

教学难点：极限的定义，极限的求解，连续与间断的定义和判断。

2．教学内容：

§2.1 数列的极限

数列的概念，数列极限的定义与几何意义。

§2.2 函数的极限

时，函数 的极限； 时，函数 的极限，函数极限的几何解释，单侧极限。

§2.3 变量的极限

变量的极限定义，有界变量。

§2.4 无穷大量与无穷小量

无穷大量的定义，无穷小量的定义与基本性质，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量的比较。

§2.5 极限的运算法则

  极限的四则运算法则，未定型极限计算。

§2.6 两个重要的极限

夹逼定理，单调有界数列的极限存在性定理，第一重要极限，第二重要极限。

§2.7 利用等价无穷小量代换求极限

等价无穷小代换性质及公式。

§2.8 函数的连续性

增量的定义，连续的定义，左连续与右连续，函数的连续性与极限的关系，间断点的定义与分类，连续函数的和、差、积、商的连续性,反函数与复合函数的连续性,初等函数的连续性,分段函数的连续性,闭区间连续函数的性质。

第三章  导数与微分

1．教学重点：导数的概念，求导公式与法则，导数的运算。微分的概念与运算。

教学难点：复合函数的求导方法

2．教学内容：

§3.1 引出导数概念的例题

变速直线运动的速度，平面曲线的切线斜率。

§3.2 导数概念

导数的定义与几何意义，左右导数，可导与连续的关系。

§3.3 导数的基本公式与运算法则

  导数的四则法则，导数基本公式，反函数的求导公式，复合函数求导法则，隐函数求导法则，对数求导法，参数方程求导法则。

§3.4 高阶导数

  二阶导数，n阶导数。

§3.5 微分

  微分的定义与几何意义，可导与可微的关系，微分法则与微分基本公式，微分形式的不变性。

第四章 中值定理与导数的应用

1．教学重点：拉格朗日中值定理，洛必达法则求极限，函数单调性，极值、最值的判别方法。

教学难点：洛必达法则求极限，极值和最值点的寻找。

2．教学内容：

§4.1 中值定理

  罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。

§4.2 洛必达法则

  型极限洛必达法则， 型极限洛必达法则。

§4.3 函数的增减性

  利用导数符号判断函数的增减性。

§4.4 函数的极值

  函数极值的定义，驻点的定义，函数取极值的必要条件与充分条件。

§4.5 最大值与最小值，极值的应用问题

  函数最值的概念，求函数最值的基本步骤。

§4.6 曲线的凹向与拐点

  凹向的定义，利用导数符号判断凹向，拐点的定义。

§4.8 变化率及相对变化率在经济中的应用——边际分析与弹性分析介绍

边际函数，弹性函数。

第五章  不定积分

1．教学重点：不定积分的定义，不定积分公式，不定积分的第一换元法（即凑微分法），分部积分法。

教学难点：第一换元积分法。

2．教学内容：

§5.1 不定积分的概念

原函数的概念；不定积分的定义与几何意义。

§5.2 不定积分的性质

不定积分的基本性质

§5.3 基本积分公式

  不定积分基本积分公式

§5.4 换元积分法

第一换元积分法，第二换元积分法。

§5.5 分部积分法

  不定积分的分部积分法

第六章  定积分

1．教学重点：定积分的定义，牛顿-莱布尼兹定理，定积分的计算，定积分的应用。

教学难点：定积分的应用。

2．教学内容：

§6.1 引出定积分概念的例题

曲边梯形的面积，变速运动的位移。

§6.2 定积分的定义

定积分的定义与几何意义。

§6.3 定积分的基本性质

定积分的基本性质，积分中值定理。

§6.4 微积分基本定理

变上限积分，原函数存在定理，变上限积分的求导方法，牛顿——莱布尼兹公式。

§6.5 定积分的换元积分法

第一换元积分法，第二换元积分法。

§6.6 定积分的分部积分法

定积分的分部积分法。

§6.7 定积分的应用

  平面图形的面积，立体的体积，简单的经济应用问题。

§6.8 广义积分与 函数

  广义积分的定义，广义积分的收敛和发散， 函数的定义。

第八章  多元函数

1．教学重点：偏导数的定义及计算，全微分的概念及计算，复合函数的微分法，隐函数的微分法。

教学难点：偏导数的计算。

2．教学内容：

§8.4 偏导数与全微分

偏导数的定义及计算，全微分的概念及计算，偏弹性的计算。

§8.5复合函数的微分法与隐函数的微分法

  复合函数的微分法，隐函数的微分法。

 

四、课程教学时数分配

序号	教学内容	学时	学时分配
			讲课	实验	其他
1	函数	2	2
2	极限与连续	12	12
3	导数与微分	8	8
4	中值定理与导数的应用	9	9
5	不定积分	11	11
6	定积分	14	14
7	多元函数	4	4
8	复习与放假	4			4
小   计		64	60		4

 

五、教学组织与方法

以课堂讲授为主要形式的课堂教学。

 

六、课程考核与成绩评定

1、考核方法：

本课程为必修考试课。开课一学期，学期期末闭卷考试一次，100分制，考试时间100分钟。考试题型包括选择题（30%），填空题（10%），计算题（42%），综合应用题（18%）

2、成绩评定方法：

总成绩 = 期末考试成绩（70％）+ 平时成绩（30％）。其中，平时成绩由平时作业、出勤和课堂表现组成。

及格分数线：60分。

七、推荐教材和教学参考书目与文献

1、推荐教材：《微积分》（第四版），赵树塬主编，中的国人民大学出版

2、参考书目与文献：

（1）《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高教出版社

（2）《高等数学例题与习题》，同济大学数学教研组主编 ，同济出版社

（3）《微积分学习参考》第四版，赵树塬主编，中国人民犬学出版社

 

 

 

大纲制订人：涂青

大纲审定人：陈嘉兴

教学院长（主任）：黄赣生

制订日期：2017年12月11日