《高等数学》教学大纲

 

课程代码：172000202      课程名称：高等数学

学    分： 4             总 学 时：64

讲课学时：64             实验学时：          上机学时：   

适用对象：全校所有理科类本科专业  先修课程：

一、课程的性质与任务

高等数学是工科数学的一门重要基础课，是高等工科院校教学计划中必不可少的一门重要主干基础课程。数学是培养和造就各类高层次专门人才的共同基础。对非数学专业的学生，大学数学基础课程的作用至少有三方面：它是学生掌握数学工具和主要课程；它是学生培养理性思维的主要载体；它是学生接受美感熏陶的一种途径。高等数学教育的目的与任务是使学生从理论、方法、能力三方面得到基本训练，从而为以后扩大深化数学知识及学习后继课程奠定基础，也为学生以后从事专业技术工作奠定数学基础。通过本课程的教学使学生系统地获得微积分、向量代数、空间解析几何和常微分方程等基础理论，围绕上述理念培养学生的基本运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力以及解决实际问题的能力，即提高学生的数学素质。通过本课程的系统教学，特别是讲授如何提出新问题、思考分析问题、逐渐培养学生创新思维能力。

二、课程教学的基本要求

课程各部分内容的要求、重点及说明

  本门课程的内容按教学要求的不同，分为两个层次：

  A：牢固掌握、熟练使用，其中，概念、理论用“理解”一词表达；方法、运算用“掌握”一词表达。

  B：教学要求上低于前者，其中概念、理论用“了解”一词表达；方法、运算用“会”或“了解”表达。

  C：打“＊”号的内容可根据不同专业，课时的多少来决定舍取。

三、课程教学内容

第七章  微分方程

1、了解微分方程，解，通解，初始条件和特解等概念。

2、掌握变量可以分离的方程及一阶线性方程解法。

3、会解齐次方程和伯努利（Bernoulli）方程，并从中领会用变量代换求解方程的思想，会解全微分方程。

4、会用降阶法解下列方程：y（n）=f(x) , y″=f(x,y′)和y″=f(y,y′)

5、理解二阶线性微分方程解的结构。

6、掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

*7、会求自由项形如：ρm(x)eλx  , ρm(x)eax cosβx或ρm(x)eaxsinβx的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。

重点：

1、可分离变量及一阶线性微分方程解法

2、理解二阶线性微分方程解的结构

3、二阶常系数齐次微分方程解法

难点：  建立微分方程，确定初始条件

 

第八章  空间解析几何与向量代数

1. 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。
2. 掌握向量的运算（线性运算，数乘向量，数量积，向量积），了解两向量垂直、平行的条件。掌握单位向量，方向余弦，向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。
3. 掌握平面的方程及其求法，会利用平面直线的相互关系解决有关问题。
4. 了解曲面方程概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

* 5、了解空间曲线的参数方程和一般方程。

* 6、了解曲面的交线在坐标平面上的投影。

重点：

向量代数，空间直线方程，平面的方程，曲面方程的概念

第九章  多元函数微分法及其应用

1. 理解多元函数概念。
2. 了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭域上连续函数的性质。
3. 理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件。

* 4、了解方向导数与梯度的概念。

5、掌握简单二元函数求一、二阶偏导数方法，会求复合函数的一、二阶偏导数的求法。

6、会求隐函数（包括两个方程组成的方程组确定的隐函数）的偏导数。

7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线，并会求出它们的方程。

8、理解多元函数极值和条件极值的概念，会求多元函数的极值，了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值应用问题。

重点：

偏导数与全微分的概念，多元函数概念，偏导数的计算，多元函数的极值和条件极值（拉格朗日乘数法）

难点：复合函数、隐函数的一、二阶偏导数求解

第十章  重积分

1、理解二重积分，了解重积分的性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。

* 2、了解三重积分的概念及其三重积分计算方法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。

第十一章  曲线积分与曲面积分

1、理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系，会计算两类曲线积分。

2、握格林(Green)公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。

* 3、了解两类曲面积分的概念。

4、会用重积分求一些几何量与物理量（如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功等）。

  重点：

两类曲线积分的概念及计算，二重积分的计算方法，格林公式

难点：

第二类曲线，曲面积分

第十二章  无穷级数

1. 理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。
2. 掌握几何级数和P—级数的收敛性。
3. 了解正项级数的比较审敛方法，掌握正项级数的比值审敛法，根值审敛法。
4. 了解交错级数的莱布尼茨定理。
5. 了解无穷级数的绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与收敛的关系。
6. 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
7. 掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法。
8. 了解幂函数在其收敛区间内的一些基本性质。
9. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10、会利用麦克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的函数展开成幂级数。

11、了解函数展开式为傅里叶(Fourier)级数的狄利克雷(Dirichlet)条件，会将定义在[π、π]上的函数展开为傅里叶级数，并会将在[0、π]上函数展开为正弦或余弦级数。

重点：
无穷级数收敛、发散的概念，正项级数的比值判别法，幂级数的收敛区间，泰勒级数，函数的幂级数展开式

难点：

正项级数的比较收敛法，用间接法展函数为泰勒级数

四、课程教学时数分配（表格为五号宋体）

序号	教学内容	学时	学时分配
			讲课	实验	其他
1	微分方程	12	12
2	空间解析几何与向量代数	12	12
3	多元函数微分方法及其应用	12	12
4	重积分	4	4
5	曲线积分与曲面积分	12	12
6	无穷级数	8	8
7	复习	4			4
小   计		64	60		4

五、教学组织与方法

以课堂讲授为主要形式的课堂教学。

 

六、课程考核与成绩评定

1、考核方法：

本课程为必修考试课。开课一学期，学期期末闭卷考试一次，100分制，考试时间100分钟。考试题型包括选择题（30%），填空题（10%），计算题（42%），综合应用题（18%）

2、成绩评定方法：

总成绩 = 期末考试成绩（70％）+ 平时成绩（30％）。其中，平时成绩由平时作业、出勤和课堂表现组成。

及格分数线：60分。

   七、推荐教材和教学参考书目与文献

推荐教材：《高等数学》，同济大学数学组编著，同济大学出版社。

 

大纲制订人：刘晓春

大纲审定人：陈嘉兴

教学院长（主任）：黄赣生

制订日期：2017年12月 12 日