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公开课《函数的微分》
日期:2018-07-05 16:57:12  浏览量:500

教学课题:  函数的微分

教学目的和要求:

  1. 理解微分的概念,知道可微和可导的关系,掌握微分公式;

2、熟练掌握基本初等函数的微分公式和四则运算法则,能正确应用微分形式不变性.

重点:微分概念及微分运算公式 

难点:微分形式不变性

教学方法:讲授法

教学内容:

§3.5  函数的微分

一.微分的定义

引例:边长为 的正方形金属薄片,由于受热膨胀,边长变成

,问此薄片的面积改变了多少?

解: .

即面积改变量由两部分组成:

第一部分  的线性部分,为面积改变量的主体部分;

第二部分  的高阶无穷小,所以 (可用于近似计算).

问题

(1是否所有函数的改变量都能在一定条件下表示为一个线性函数和一个高阶无穷小的和?

(2)这个线性部分是什么?如何求?

定义 若函数 满足条件:① 在区间I内有定义,且

,其中A 无关

则有:① 可微;② 在点 处的微分,记为

例题1:设函数 ,在点 处计算当 分别为1,0.1,0.01时的 之值。

解:

所以 ,再将 =1,0.1,0.01分别代入计算即可.

结论: 很小时, ,即微分 的线性主部。

二.函数可微的条件

问题: 应该如何去求呢?在上面引例中 ,正好是 的一阶导数,而例1中 同样也是 的一阶导数,那么会不会 呢?

定理 在点 处可微 可导,且有

证明:(必要性) 处可微

.

可导

可微.

.(即自变量的的微分就是它的改变量)

所以 . (微商)

由此,在例题1 ,在点 处的微分 .

结论:可微与可导是一致的,求微分的问题可以归结为求导数的问题。

课堂练习:求函数 改变为 时的微分。

解: .

三.基本初等函数的微分公式和微分运算法则

1、基本初等函数的微分公式

导数公式

微分公式

例如:

 

 

 

 

 

2、微分的四则运算法则

(1 ;      (2)

(3 ;  (4) .

结论:我们可以借由导数公式去记忆微分公式。

例题2:求函数  的微分.

解: ,所以 .

例题3:求函数 的微分.

解: ,所以 .

  • 微分的形式不变性

是可导的,则

(1)当 是自变量时,

(2)若 不是自变量,而是 的可导函数 时, .

结论:对函数 来说,无论 是自变量,还是中间变量,它的微分形式同样都是 ,这就是一阶微分形式不变性.

例题4:设 ,求 .

解:方法一 ,所以 .

方法二  令 ,则

.

  • 微分的应用

由微分的定义可知,当 很小时,

从而 ,这可以帮助我们做一些近似计算。

例题5:求 的近似值。

解:设

,所以 .

总结: 1 ;  2、可微 可导。

课堂练习:

练习一: .    练习二: .

练习三:求 的近似值.

布置作业:

第116页56题;57题(7)(8);62题(6)

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